Mathematik in der Astronomie (Teil 7): Die ideale Brennweite oder welche Barlow-Linse passt (Astrofotografie)

Fotolia_75094565_XS© alphaspirit - Fotolia.comIn diesem Artikel aus meiner Serie Mathematik in der Astronomie (Bloglink) geht es dieses mal um die Astrofotografie. Auch ich lerne immer wieder dazu und habe in letzter Zeit einiges zu diesem Artikel gelesen. Auch wurde das Thema auch schon Mehrfach in Facebookgruppen oder anderen Blogs diskutiert.

Nun möchte ich die Gelegenheit nutzen und diese Artikelserie erweitern. Es geht um die ideale Brennweite eines Teleskops und der dazu verwendeten Kamera.

Da man die Brennweite seines Teleskops nun nicht einfach mal ändern kann, kann man sich auch mit Reduzierungen (Reducern) oder auch Verlängerungen (Barlow-Linsen) behelfen.

Wie man nun aber diese ideale Brennweite berechnet, möchte ich hier vorstellen.


Was haben Kamera (Pixelgröße) und die Brennweite miteinander zu tun

Bevor wir in die Berechnungen zur idealen Brennweite gehen, müssen wir noch einige Grundlagen legen und auch einiges vorher erklären.

Ziel ist es die jeweilige Kamera am Teleskop möglichst gut auszunutzen. Sprich die Pixel des Chips sollten ein möglichst klares Bild ergeben.

Die beste Ausnutzung ist bei einer Kamera natürlich dann gegeben, wenn das Licht eines Sterns (punktförmige Lichtquelle) auf ein Pixel fällt. Das würde aber heißen, dass der Stern dann quadratisch ist, da das Pixel ja ein quadratischer Lichtsensor ist.  Außerdem gäbe es auf dem Bild keinerlei Graustufen. Hierbei spricht man von einem Undersampling.

Fällt das Licht hingegen auf zu viele Pixel, verteilt sich die punktförmige Lichtquelle. Sind dabei zu viele Pixel betroffen gehen Details verloren, da hier zu viele Graustufen enthalten sind. So werden lichtschwächere Sterne gar nicht mehr abgebildet. Dies nennt man Oversampling. Der Stern wird verwaschen dargestellt.

Es gilt also ein Optimum zwischen einem Undersampling und einem Oversampling zu finden.

Weiterhin müssen wir bei den folgenden Formel noch den Unterschied zwischen DeepSky-Aufnahmen und Mond- und Planetenaufnahmen betrachten. Das muss sein, da wir hier mit unterschiedlichen Belichtungszeiten arbeiten und dadurch die Luftunruhe (Seeing) eine Rolle spielen wird.

Theoretisch, ideale Berechnung der Brennweite

Natürlich gibt es hier wieder einen theoretischen Ansatz. Um die späteren Formeln zu verstehen, nehmen wir diesen Ansatz her und berechnen uns einmal die theoretische Pixelgröße für punktförmige Lichtquellen.

In der folgenden Infografik sieht man verschiedene Veranschaulichungen zu dem Thema.

Hier kann man sehen, dass der idealste Weg wäre, wenn ein Stern immer nur 1 Pixel trifft. Das gilt aber nur für die Theorie. Damit also zwei Objekte voneinander getrennt werden, muss immer ein Pixel dazwischen liegen. Dann gäbe es auf dem Bild die schematische Darstellung bei dem “Ideal”.

Das Oversampling und Undersampling habe ich auch einmal dargestellt. Hier wird 1 Pixel von einem Stern getroffen oder aber der Stern verschmiert.

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Nimmt man nun 1 Stern und sagt das dieser sehr gut Abgebildet wird, wenn er 2 Pixel überstreicht, kann man sich mit einer einfachen Tangensformel die ideal Pixelgröße berechnen.

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Die Brennweite muss natürlich umgerechnet werden. Weiterhin ist zu beachten, dass bei vielen Objekten eine Ausdehnung in Bogensekunden angeben wird. Diese müssen wir natürlich in Grad [°] umrechnen. Das ist aber sehr einfach. Wir teilen einfach die Bogensekunden durch 3600”/° und erhalten Grad als Angabe.

Berechnungsbeispiel 1:

Mein Teleskop (4 Zöller Skywatcher) besitzt eine Brennweite von 500 mm. Damit wir einen Anhaltpunkt für die Pixelberechnung haben, nehme ich das maximale Auflösungsverhalten des Teleskops dazu. Wer das nicht kennt schaut einfach im Teil Mathematik in der Astronomie (Teil 4): Das Auflösungsvermögen von Teleskopen.

Dieses beträgt bei dem obigen Teleskop 1,35” (Bogensekunden).

Nun kann man die ideale Pixelgröße berechnen:

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Nicht wunder, die Formel sieht etwas kompliziert aus. Ich habe die Umrechnungen direkt in die Formel eingetragen, damit das auch nachvollziehbar bleibt.

Für mein theoretisches Auflösungsvermögen bräuchte ich also eine Kamera mit 1,63 Mikrometer Pixelgröße.

Meine Canon 600D hat eine Pixelgröße von 4,3 Mikrometer. Meine QHYCCD 5-L-II-C hat eine Pixelgröße von 3,75 Mikrometer.

Nehme ich diese Werte nun für die Berechnung der Brennweite, dann ergibt sich folgendes Bild.

Berechnungsbeispiel 2:

Für die Canon bräuchte ich also eine ideale Brennweite von:

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Für die QHYCCD ergäbe sich eine Brennweite von 286 mm.

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Das waren jetzt aber die absolut theoretischen Grundlagen und die Betrachtung am idealen Stern mit ideale Auflösung des Teleskops.

Das trifft natürlich in der Realität nicht zu.

Praktische Berechnung der idealen Brennweite

Hier kommt nun als erstes die Unterscheidung der beiden fotografischen Bereiche.

DeepSky-Fotografie

Bei der DeepSky-Fotografie werden sehr lange Belichtungszeiten in kauf genommen. Daher werden die Sterne und Himmelsobjekte aber oft durch die Luftunruhen verschmiert. Das Seeing hat hier einen großen Einfluss und daher muss das berücksichtigt werden.

So wird aus einer Punktförmigen Lichtquelle eine flächige Lichtquelle. Hier werden also Werte zwischen 2” und 5” angenommen und diese sind für die theoretische Auflösung einzusetzen.

Diese Ausdehnung der Sternscheiben werden als FWHM-Wert (Full Width Half Maximum) angenommen. Setze ich nun für beide Kameras einen Wert von 3” ein, dann zeigen sich die neuen Brennweiten für die DeepSky-Aufnahmen.

Für die QHYCCD ergibt sich dann eine ideale Brennweite von:

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Und die Canon 600D wäre dann bei:

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Man sieht also das der kleine Refraktor mit seinen 500mm eigentlich recht gut geeignet ist für die DeepSky-Fotografie. Wie oben aber schon beschrieben, geht es hier um sehr lange Belichtungszeiten.

Mond- und Planetenfotografie

Bei der Mond- und Planetenfotografie werden hier die Belichtungszeiten massiv reduziert. Zum Teil bewegt man sich hier in einem Bereich von wenigen hundertstel Sekunden Aufnahmedauer.

Hier kann man also mit dem theoretischen Auflösungsvermögen die Brennweite berechnen.

Das hatte ich oben schon einmal durchgeführt und daher sind die Werte für die QHYCCD und die Canon schon gegeben. Beide Formel stelle ich hier noch einmal rein.

Canon:

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QHYCCD:

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Man sieht also das ich mit einer 2x Barlow an die theoretisch beste Brennweite herankomme.

Wer sich die ganze Rechnerei vereinfachen möchte, kann das mit den folgenden Formeln tun.

Faustformeln

Es gibt in der Astronomie immer wieder Faustformeln, die an die oben berechneten Werte gut herankommen.

Damit man nun bestimmte Details in der Aufnahme hat, kann man sich den Abbildungsmaßstab berechnen.

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So kann man für die DeepSky-Fotografie einen Abbildungsmaßstab von 1,5” pro Pixel annehmen und errechnet sich die Pixelgröße der Kamera (p) oder aber die Brennweite (f) mit:

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Das soll es zu diesem Teil der Serie Mathematik in der Astronomie erst einmal wieder alles gewesen sein. Alle Artikel zu der Serie findet man hier: Blogsuche Mathematik

Ansonsten kann man diese Artikel auch hier abrufen:

Wer sich alle anderen Teile aus dieser Reihe anschauen möchte, kann das gern hier tun:

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One comment

  1. Martin sagt:

    Hallo!

    Mir fehlt noch der Schluss, wo ich die richtige Barlow-Linse finde…

    Habe ein 9 1/4 ” Celestron Nexstar Evo und mir gerade die ASI 290mc gekauft.

    Habe mir leider keine Gedanken zur richtigen Pixelauflösung der Kamera gemacht und nun suche ich nach der richtigen Konfiguration mit Barlow-Linse oder Okular für das beste Bild:

    Sensor: 1/2.8#8243; CMOS IMX290/IMX291
    Resolution: 2.1Mega Pixels 1936×1096
    Pixel Size: 2.9µm

    Welche Barlow-Linse soll ich nun nehmen bzw. welches Okular?

    lg

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